Kann die Mahnung schon mit Begründung der Fälligkeit geschehen?

Ja, grundsätzlich können Fälligstellung und Mahnung gleichzeitig erfolgen. Dies ist bspw. der Fall, wenn bereits auf der Rechnung gemahnt wird. Allerdings muss sich das Zahlungsverlangen hier eindeutig ergeben, der Schuldner muss also wissen, dass er nun gemahnt ist und damit Verzug eintritt.